¿Las matemáticas se crean o se descubren?

 
La respuesta corta que yo doy a esta proegunta es la siguiente:
“Las matemáticas se crean y se descubren. Las dos cosas pasan.”
 
Ahora intentaré justificar tal afirmación trabajando con un ejemplo sencillo. Los números.
 
Un día inventamos (o se inventaron) los números naturales, posiblemente por la necesidad de contar y como consecuencia de observar el mundo que nos rodea, pero un invento a fin de cuentas y que seguramente no se dio de un día para otro. Junto con los números tenemos sus operaciones de suma y multiplicación.
 
Dado un número cualquiera, nos podemos preguntar: ¿es este número producto de otros dos números? por ejemplo, el 10 es producto del 5 y del 2. Se observó entonces que había números particulares, los que sólo se pueden escribir como producto de ellos y el uno. El 7 es uno de ellos: la única forma de escribirlo como un producto de otros dos números naturales es 7×1 o 1×7. Esto, por trivial que parezca, es ya un descubrimiento. Nosotros sólo inventamos los números y la manera de operarlos, pero el hecho de que existan números que sólo se faectorizan trivialmente es un descubrimiento que no inventamos. Estos números fueron bautizados con el nombre de números primos. Luego nos podemos preguntar que cuántos de estos números hay: ¿habrá sólo un número finito de números primos? haciendo investigación, se descubrió que de hecho hay una infinidad de números primos, y el hecho que haya una infinidad de primos NO es un invento. Existen varias demostraciones de esto.
 
Para aclarar mejor el punto inventemos un juego:
1) Tomemos los números del 1 al 12 y sólo estos números.
 
2) En vez de la suma usual, sumémoslos como en un reloj: es decir 5+11 = 4 (porque en un reloj, si son las 5 y pasan 11 horas, el reloj marcará las 4).
 
3) De igual manera puedo definir una multiplicación que sea similar en concepto a lo que hace la multiplicación usual, es decir que la multiplicación nos indique el número de veces que sumamos: 4x 5 = 5+5+5 +5 (sumamos 4 veces el 5 con la suma del reloj), así 4×5 = 8. Notemos que: 4x 5 = 4+4+4+4+4 y si el reloj marcan las 4 y pasan otras 4 horas entonces el reloj marca las 8 y si luego pasan otras 4 el reloj marca las 12 y si luego pasan otras cuatro el reloj marca las 4 y si pasan otras cuanto el reloj marca las 8.
 
4) Este es nuestro juego: te doy dos números al azar y tú me respondes el valor de su suma y su producto con las reglas de operación que hemos definido: 7x 3= ? 6+8= ?
 
Es un juego y no sabemos nada más que la manera de operarlos. Hemos inventado una manera de operar ciertos números.
 
5) Tengo ahora una pregunta: ¿existen aquí números como los primos? es decir, que sólo se escriban como producto del uno y ellos mismos? ¿Si? ¿no?
 
Es algo que por lo pronto no sabemos, y que no es directo de las reglas de suma y multiplicación que hemos definido. Si respondes a la pregunta anterior, ya sea afirmativa o negativamente, después de estar jugando un rato o de pensar un poco y llegas a una conclusión, entonces estarás descubriendo algo, algo nuevo que tú no inventaste. Algo que se deduce de tu invento, pero que no sabías a priori.
 
Así como he presentado las cosas, pareciera que en última instancia primero se inventa y luego se descubre, sospecho que tampoco es necesariamente así. Nosotros ponemos nombre a las cosas que vemos y/o entendemos, a los patrones que encontramos. La invención de los números y sus reglas de operación resultan de la combinación de nuestras necesidades y la abstracción de ellas. Pareciera que los números ya estaban ahí esperando a que nosotros simplemente los bautizáramos como números naturales, como si simplemente los hubiéramos descubierto. Así como una montaña o un planeta existe antes de que sea observado. Después de todo los conjuntos de cosas y objetos estaban ahí y la cantidad de objetos que tiene un grupo o conjunto parece ser algo inherente al conjunto. Los números son justamente esa característica que tienen los conjuntos que nos permite empatar a dos de ellos (su cardinalidad). Así que ese proceso de abstracción de lo que observamos o entendemos nos lleva a inventar cosas que pareciera que sólo hacía falta descubrir o que tal vez estemos en realidad descubriendo y nombrando. En cualquier caso, una vez creado o descubierto un concepto o una teoría matemática hay cosas que descubrir que no inventamos, tal como pasó con los números primos. ¿Y entonces, en primera instancia qué paso? Pues yo digo que las dos, las dos cosas pasaron y no veo una razón para ordenarlas, pasaron al mismo tiempo, una con otra o una entre la otra, y no pasa nada si no tienen un orden, pero eso sí, las dos pasan: la matemática se crea y se descubre.
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Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes. ¿Qué día es hoy?

Hace unos días escuché a un amigo decir: “Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes” y la pregunta entonces: ¿En qué día de la semana se dijo el comentario, asumiendo que mi amigo dice verdad?

Si suponemos que el día que se dijo la frase es hoy, la frase en cuestión es la siguiente:

Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes. ¿Qué día es hoy?

Evidentemente la pregunta se refiere a que qué día es hoy, si la frase que le precede es verdadera. En todo caso eso es lo que deberíamos entender para no trivializar el problema.

Para facilitar el análisis asociemos a cada día de la semana un número en orden consecutivo de tal manera que el 1 sea el lunes y el 7 el domingo. Con esta convención el día viernes corresponde con el 5. Además asumiremos que si sumo un día al domingo llegaremos al lunes, es decir que 7+1 = 8=1 y análogamente que si al lunes le restamos un día llegamos al domingo, es decir que 1-1=0=7. Es otras palabras estamos sumando cíclicamente, o como nos gusta decir a los matemáticos, estamos sumando ‘módulo 7’. Así, por ejemplo, El 4+6=3 (que corresponde al jueves sumarle 4 días) mos da el número 3 que representa al miércoles.

Una vez acordado esto, proseguimos an análisis del problema:

Denotemos por H  a el día de hoy, es decir al día en que el supuesto interlocutor lanza la pregunta. En otras palabras, H denota el día que la frase “Si ayer fuera mañana, hoy sería viernes” se hace verdadera. Lo que queremos argumentar es que H puede ser el domingo o el miércoles y no otro día. Es decir, queremos demostrar que H es el 3 o el 7 ¿De acuerdo?

Lo primero que tenemos que identificar son los distintos tiempos:  ‘El tiempo de facto’ que es el tiempo real en el que el vive el supuesto interlocutor que lanza la pregunta. El interlocutor lanza la pregunta el día H. Así para el interlocutor tenemos el día de mañana de facto, que dentaremos por M y el día de ayer de facto que denotaremos por A (los días de facto con mayúsculas). Es claro entonces que M= H+1 y que A= M-2.

 

El otro tiempo es ‘El tiempo hipotético’ del interlocutor:  este es el tiempo de las suposiciones, así, según el problema el día de hoy hipotético es el viernes (recordemos que la frase dice “Si hoy fuera mañana, hoy sería viernes”. Si denotamos con letras minúsculas h,m,a al día de hoy, mañana y ayer hipotéticos entonces tenemos que h=5 (pues sería el viernes).

 

Una vez identificados nuestros tiempos de facto e hipotéticos y sus correspondientes letras pasemos a traducir la frase en términos de los tiempos hipotéticos y de facto y nuestra aritmética del reloj módulo 7.

“Si ayer fuera mañana” se puede interpretar de 4 formas posibles 2 de las cuales son claramente imposibles, dejando sólo dos formas viables:

1) a = M, si ayer fuera mañana, interpretado a “ayer” hipotético y al “mañana” de facto.

2) A = m , si ayer fuera mañana, interpretado “ayer” como el ayer de facto y al “mañana” como el  hipotético.

3) A= M , interpretado el “ayer” y el “mañana” de facto. Lo cual es imposible, es decir no es posible que ayer sea mañana.

4) a=m , interpretando al “ayer” y al “mañana” como hipotéticos. Lo cual también es imposible, pues suponer que ayer es al mismo tiempo mañana no tiene sentido, ni aunque sean hipotético.

Así, los únicos casos viables son el 1) y 2). Por lo tanto habrá cuando mucho 2 soluciones posibles. Veremos a continuación que ambos casos dan soluciones posibles. Recordemos que queremos encontrar el valor del hoy de facto, H.

Caso 1) a = M. La continuación del problema dice entonces que si a=M   entonces hoy es viernes, es decir si a = M  entonces h = 5. Pero a = h-1   por lo que a =4   (es decir ayer hipotético es jueves) pero por hipótesis a = M   (a = M), entonces el mañana de facto es jueves, es decir, el hoy de facto H = M-1 = 4-3 = 3 que corresponde al miércoles. Esta es la primera solución posible.

Caso 2) A = m. La continuación del problema dice que h=5; pero m=h+1 = 6, es decir, el mañana hipotético es sábado. Pero A= m, entonces  A = 6, lo que significa que el ayer de facto es sábado, y esto a su vez significa que el hoy de facto, es decir H = A+1 = 6+1 =7, corresponde al domingo. Que es la otra solución.

Por lo tanto hay exactamente dos soluciones: una correspondiente al miércoles, que se desprende de suponer que el mañana de facto es igual al ayer hipotético y la otra, que corresponde al domingo, que sale de suponer que el ayer de facto es igual al mañana hipotético.

Otra opción para darle solución al problema es hacer un análisis exhaustivo.  Suponiendo que el día H es el lunes y ver las consecuencias, luego el martes, luego el miércoles y así hasta llegar al domingo. Por ejemplo si H es 1, es decir si el día de facto es el lunes, entonces ayer es domingo (ayer de facto) y si ayer fuera mañana entonces mañana (mañana hipotético) sería domingo, es decir hoy (hoy hipotético) sería lunes (que no es viernes y por lo tanto no es solución). O bien si H es lunes entonces mañana es martes y si ayer fuera mañana ayer sería martes lo que dice que sería miércoles (que no es viernes y por lo tanto tampoco es solución). Por lo tanto suponer que hoy es lunes no hace verdadera la frase completa. Y así sucesivamente….